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酷炫的数学图:给力的正十七边形
  发布者:学科专家  发布时间:2014-06-06

你真的以为你懂三角函数吗?请听题:三角函数既然是函数,那它的自变量和因变量都是什么?

酷炫的数学图:给力的正十七边形

从这张图里可以很明显看到,所谓正弦函数,其实就是圆上任意一点的y坐标(红)和弧长(蓝)之间的关联。左图的蓝色弧长和右图的蓝线完全一样。

而弧长又和弧度是完全对应的。为什么高中老师不肯用经典的360度角而一定要教你奇怪的“弧度”?就是因为这个对应。1弧度就是长度为1个半径的弧所对应的角,π弧度就是正好半个圆——相应的,之所以 sinπ=0,正是因为当蓝线走了一个π(一个半圆)的时候,正好也走回到了y = 0的地方。

酷炫的数学图:给力的正十七边形

余弦函数就是圆上任意一点的x坐标和弧长之间的关联,只不过在画函数的时候,把圆上点的x坐标打了个弯,对应成了函数曲线上的y坐标,就像这张图里的蓝线那样。

酷炫的数学图:给力的正十七边形

为了体现余弦函数的这个对应,我们也可以直接把函数本身竖过来,就成了这样:

酷炫的数学图:给力的正十七边形

当然,这种对应也可以用在其它几何图形上,只不过就不如圆那么美丽了,比如下面这个丑陋的心形。

酷炫的数学图:给力的正十七边形

极坐标的魔法

如何把直角坐标变成极坐标?看我的:

酷炫的数学图:给力的正十七边形

这是什么黑魔法……

别急,听我解释,事情就是你看到的那样:

首先我们需要把函数沿直线 y = x 翻转。之所以要有这一步,是因为极坐标里我们很武断地把0度定义在了朝右。如果0度是(更自然的)朝上,那就不需要这一步了。

然后,我们把Y轴折弯过来,直到它缩成一个点。成功!

思路是这样的:直线在几何上可以认为是具有无限直径、无限曲率半径的一个圆,永远不向自身弯折。但如果我们逐渐降低曲率半径,从无限一直降到零,就等于是把Y轴变成一个逐渐缩小的圆、最后变成一个点。而原来直角坐标的“Y轴”所承载的信息,在转换中就逐渐移交给了极坐标的“角度”。

正十七边形尺规作图

酷炫的数学图:给力的正十七边形
要坚持看完哦

正十七边形可以用尺规作出来,这是高斯1796年19岁时证明的。这是正多边形尺规作图两千年来头一次有所突破——换句话说,上一次人们发现新的正多边形尺规作图法还是在古希腊。

但是,高斯本人实际上并不会做正十七边形。第一个真正的正十七边形尺规作图法直到1825年才由约翰尼斯·厄钦格给出,而上面的这个方法——“卡莱尔圆法”则要更晚。

那高斯怎么就知道正十七边形是可以做出来的呢?因为他懂数学。他已经知道,如果一个正多边形内角的三角函数能用加减乘除和开平方表达出来,那就意味着这个正多边形能用尺规做出来。(尺规等价于只使用圆和直线的交点作图,直线的表达式是二元一次方程,圆的表达式是二元二次方程,所以只用到了加减乘除和开平方。)而他又证明了,只要正多边形的边数n是费马素数,那么就能这么表达。当时人们已经知道前五个费马素数是3、5、17、257和65537,所以高斯等于一举证明了这五种正多边形都是尺规可做的。

不过,正三边形(好吧,正三角形)和正五边形人们早知道了,而正257边形什么的做起来又太麻烦,所以最后正十七边形成了最出名的。

那么正十七边形的对应三角函数应该怎么表达?高斯的《算术研究》给出了结果:

酷炫的数学图:给力的正十七边形

 
  相关评论 点击数:1457     评论数:11    
游客     发表评论于:2014-6-9 8:26:09
太酷了,圆的用途这么大啊,把正多边形和三角函数都联系起来了,真是太神奇了,佩服啊!叹为观止!
尤艳     发表评论于:2014-10-30 15:43:47
太酷了,圆的用途这么大啊,把正多边形和三角函数都联系起来了,真是太神奇了,佩服啊!叹为观止!
胡全进     发表评论于:2014-10-29 21:56:38
太酷了,圆的用途这么大啊,把正多边形和三角函数都联系起来了,真是太神奇了,佩服啊!叹为观止!
游客     发表评论于:2014-11-6 11:58:27
惊讶于数学的神奇,圆的神奇,正多边形与三角函数的结合,真是太棒了!
游客     发表评论于:2014-11-16 10:53:00
真正的智慧和艺术的结合!震撼 !
游客     发表评论于:2014-11-16 19:38:01
数学的奥妙,真的是太神奇了!
李志群     发表评论于:2014-12-2 14:48:18
真正的智慧和艺术的结合!震撼 !
李志群     发表评论于:2014-12-2 14:48:02
太酷了,圆的用途这么大啊,把正多边形和三角函数都联系起来了,真是太神奇了,佩服啊!叹为观止!
李志群     发表评论于:2014-12-2 14:48:41
惊讶于数学的神奇,圆的神奇,正多边形与三角函数的结合,真是太棒了!
游客     发表评论于:2015-5-27 17:09:45
真正的智慧和艺术的结合!震撼 !
游客     发表评论于:2015-4-24 11:35:00
能下载吗,让学生看看圆的用途,体会数学的魅力
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